高中数学之解析几何热点题型解决方法

  圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.

  【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中,椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起,可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离,也可以结合三角形的知识,求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中,利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离,再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.

  (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系,或者求出圆锥曲线方程中的各个系数,再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.

  定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.

  圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.

  【类题通法】圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值.

  圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面:(1)探索点是否存在;(2)探索曲线)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.

  【类题通法】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.




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